Article original : What is a Rational Number? Definition and Rational Number Example
Un nombre rationnel est tout nombre qui peut être écrit sous la forme d'une fraction, où le numérateur (le nombre du haut) et le dénominateur (le nombre du bas) sont des entiers, et le dénominateur n'est pas égal à zéro.
En d'autres termes, un nombre rationnel peut être exprimé sous la forme p/q, où p et q sont tous deux des entiers et q ≠ 0.
Dans cet article, nous verrons ce que sont les nombres entiers naturels et les entiers relatifs, nous aborderons les différents types de nombres rationnels et nous apprendrons à déterminer si un nombre est rationnel ou non.
Que sont les nombres entiers naturels et les entiers relatifs ?
Avant d'aborder les entiers relatifs, il serait utile de revoir ce que sont les nombres entiers naturels.
Nombres entiers naturels
Un nombre entier naturel est tout nombre allant de 0 jusqu'à l'infini : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Notez que les nombres entiers sont juste cela – entiers. Ils n'incluent pas de décimales ou de fractions, et puisqu'ils commencent à 0 et augmentent, tous les nombres entiers naturels sont positifs.
Ainsi, 11, 0, 2014 et 938 840 123 sont tous des nombres entiers naturels.
-2, 3,8 et 13/100 ne sont pas des nombres entiers naturels.
Entiers relatifs
Les entiers relatifs sont exactement comme les nombres entiers naturels, mais peuvent également inclure des nombres négatifs : ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
12, -33 et 0 sont tous des entiers relatifs.
Mais 1/2, 3,14 et -3,333 ne sont pas des entiers relatifs.
Nombres rationnels
Encore une fois, un nombre rationnel est tout nombre qui peut être exprimé sous la forme d'une fraction, où le numérateur et le dénominateur sont tous deux des entiers, et le dénominateur n'est pas 0 :
Source : Rational Numbers
Quelques exemples de nombres rationnels incluent :
- 3/4 (trois quarts)
- 1/2 (un demi)
- 5/8 (cinq huitièmes)
Selon Wikipédia, le terme ratio "dérive de rationnel".
Donc, si un nombre peut être exprimé proprement sous forme de fraction, ou de rapport entre deux entiers, alors c'est un nombre rationnel. Et si un nombre ne peut pas être exprimé de cette manière, alors c'est un nombre irrationnel.
Types de nombres rationnels
Bien que vous ayez appris ce que sont les nombres rationnels plus tôt dans l'article, il est utile de les diviser en grandes catégories et d'examiner différents exemples.
Il existe quatre types de nombres rationnels :
- les entiers relatifs
- les fractions composées d'entiers
- les nombres décimaux finis
- les nombres décimaux illimités avec des motifs répétés à l'infini
Entiers relatifs
Tout entier relatif peut être converti proprement en une fraction et est un nombre rationnel.
Par exemple, 3 peut être exprimé sous la forme 3/1. Et puisque le numérateur (3) et le dénominateur (1) sont tous deux des entiers, et que le dénominateur n'est pas 0, alors 3 est un nombre rationnel.
Cela fonctionne pour les entiers négatifs comme -2 (ou -2/1) et -2006 (ou -2006/1).
Le nombre 0 est également un nombre rationnel, car il peut être converti en fraction. Par exemple, 0/1, 0/-4 et 0/18 572 sont toutes des fractions valides et répondent à la définition d'un nombre rationnel.
Fractions composées d'entiers
Toute fraction composée d'entiers est un nombre rationnel, tant que le dénominateur n'est pas 0.
Par exemple, 1/3, -5/3 et 27/-463 sont tous des nombres rationnels.
Nombres décimaux finis
Tout nombre décimal qui s'arrête, ou se termine à un certain point, est un nombre rationnel.
Par exemple, prenons le nombre décimal 0,5. Il peut être converti en 1/2, ce qui signifie que c'est un nombre rationnel.
Même des nombres décimaux finis plus longs peuvent être proprement convertis en fractions. Par exemple, 0,0001 peut être exprimé sous la forme 1/10 000, ce qui signifie que c'est un nombre rationnel.
Tant qu'un nombre décimal finit par s'arrêter, sans arrondi ni approximation, c'est un nombre rationnel.
Nombres décimaux illimités avec des motifs répétés à l'infini
Les nombres décimaux qui se prolongent à l'infini avec des motifs répétitifs sont des nombres rationnels. Mais c'est un peu délicat, car le motif doit se répéter à l'infini.
Par exemple, prenons le nombre 0,33333... Même s'il est souvent simplifié en 0,33, le motif des 3 après la virgule se répète à l'infini. Cela signifie que le nombre peut être converti en fraction 1/3, et c'est un nombre rationnel.
Mais qu'en est-il d'un nombre plus compliqué, comme 0,142857142857... ? Encore une fois, le motif 142857 après la virgule se répète à l'infini, et le nombre peut être converti en 1/7, ce qui est rationnel.
Cependant, il existe des nombres décimaux qui se prolongent à l'infini et qui ne contiennent pas de motifs répétitifs. Ces types de nombres ne sont pas des nombres rationnels et sont connus sous le nom de nombres irrationnels.
Nombres irrationnels
Tout nombre qui ne répond pas à la définition d'un nombre rationnel est un nombre irrationnel.
Des nombres comme pi (π = 3,1415926536...) et de nombreuses racines carrées (√2 = 1,41421356237...) ont des chiffres qui dépassent la virgule à l'infini. Mais ils ne contiennent pas de motifs répétés à l'infini, ils sont donc considérés comme irrationnels.
Par exemple, bien que pi soit souvent abrégé en 3,14159, ce n'est qu'une approximation. Au moment d'écrire ces lignes, le record du monde du nombre de chiffres de pi ayant été calculés est de 62,8 billions. Et à mesure que la puissance de calcul augmentera, ce record augmentera également.
Mais d'après ce que l'on sait, au milieu de ces chiffres infinis, il n'y a pas de motifs répétitifs, donc pi est considéré comme un nombre irrationnel.
Merci pour votre lecture
Si vous avez trouvé cet article sur les nombres rationnels utile, pensez à le partager pour que plus de personnes puissent en profiter.
N'hésitez pas non plus à me contacter sur Twitter pour me dire ce que vous en pensez.