Article original : 10 awkward moments in math history
Par Elena Nisioti
Nous avons tous connu des moments gênants. Quelque chose d'inattendu se produit, il y a une certaine tension sociale et un malaise personnel, et vous aimeriez vraiment surmonter cela ou oublier que cela s'est jamais produit. Mais que se passe-t-il si vous êtes un mathématicien rigoureux et que votre monde vient d'être réfuté ?
Les mathématiques ont toujours été une quête de compréhension du monde à travers la logique et son expression dans un langage mathématique strictement défini. Il est vraiment indicatif, éducatif et amusant d'observer les mathématiques lorsqu'elles ont cessé (momentanément) de faire sens.
1. La découverte des nombres irrationnels
Puisque les origines de la rigueur mathématique se trouvent dans la Grèce antique, la pensée mathématique a commencé près des croyances religieuses, ainsi les nombres se voyaient attribuer des caractéristiques divines.
L'École de Pythagore, une équipe occulte des premiers mathématiciens qui ont fait avancer les connaissances mathématiques, comme tous les cultes, était basée sur des croyances fondamentalistes. Émerveillés par l'applicabilité des ratios à chaque problème pratique, ils croyaient que les ratios (oui, de simples nombres divisés) sont divins, car ils peuvent expliquer tout ce qui se passe dans le monde.
Par conséquent, tout ce qui se passe dans le monde devrait pouvoir être exprimé comme un ratio, n'est-ce pas ?
Maintenant, imaginez leur surprise lorsqu'ils ont découvert le nombre racine carrée de 2, en appliquant le nouveau théorème de Pythagore. Ce nombre irrationnel (irrationnel signifiant qu'il ne peut pas être exprimé comme le ratio de deux nombres) défiait l'ordre du monde tel qu'exprimé par la divinité des ratios et remettait en question toute leur philosophie.
Terrifiés par les conséquences de cette découverte révolutionnaire, ils ont décidé de ne rien dire à personne. Il est également dit qu'ils ont même noyé l'homme qui a fait la découverte, Hippasus. Scientifique silencieux, ne pensez-vous pas ?
2. L'infini
La découverte des nombres irrationnels, déjà mauvaise en soi, a confronté les Grecs à une découverte plus terrifiante : l'infini. Puisque les nombres irrationnels sont caractérisés par un nombre infini de chiffres décimaux, les Grecs ont dû trouver une explication à la façon dont une série sans fin de nombres peut être créée. La notion d'infini est difficile à comprendre aujourd'hui, et encore plus à une époque où la religion était liée à la science et où une croyance mathématique ne devait pas remettre en question notre compréhension de Dieu. Alors, que ont fait les Grecs ? Des philosophes, comme Aristote et Platon, ont rejeté la notion d'un infini absolu et les mathématiciens ont trouvé des moyens inventifs pour contourner le besoin d'infini en géométrie, comme Eudoxus de Cnidus qui a développé la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire des formes. Ce n'est qu'à la fin du 17ème siècle que Newton et Leibniz ont encouragé la prise en compte de l'infini à travers leur utilisation des infiniment petits et que John Wallis a introduit le symbole bien connu de l'infini en 1655.
3. Les paradoxes de Zénon
Les Grecs sont certainement allés aux extrêmes en matière de raisonnement philosophique.
Après que son prédécesseur Héraclite ait affirmé que tout dans le monde est en constante évolution, Parménide a affirmé que rien ne change. Par conséquent, le mouvement est une simple illusion et donc, utiliser les mathématiques, le langage de la vérité selon les Grecs, pour le décrire devrait être impossible.
Zénon, l'un des étudiants de Parménide, a conçu une série de paradoxes visant à prouver l'irrationalité du mouvement. Le plus célèbre, Achille et sa tortue, se présente ainsi : Achille court contre une tortue, qui, étant significativement plus lente, a l'avantage de commencer la course 100 mètres devant lui.
Si nous supposons, pour simplifier, que les vitesses des deux concurrents sont constantes et qu'Achille est 10 fois plus rapide que la tortue, alors nous pouvons dire que lorsque Achille atteint le point de départ de la tortue, celle-ci aura parcouru 10 mètres. Ainsi, Achille essaiera de rattraper son retard et, au moment où il atteindra ce point suivant, la tortue aura avancé d'un mètre supplémentaire.
Ce problème de mathématiques de lycée, aussi simple et clair soit-il, nous conduit à la conclusion paradoxale suivante : Achille ne rattrapera jamais la tortue, peu importe à quel point il est plus rapide. Félicitations Zénon, vous avez rendu le mouvement illogique.
Les paradoxes de Zénon étaient censés exister dans le domaine de la métaphysique et ont troublé les philosophes et les mathématiciens pendant des siècles, mais aujourd'hui ils peuvent être expliqués avec le calcul infinitésimal, un outil mathématique que les Grecs ne possédaient pas. Passons alors.
4. Le ruban de Möbius
Le ruban de Möbius, qui a également été découvert indépendamment en 1858 par le malchanceux Listing dont le nom est resté dans l'histoire des mathématiques sans être remarqué, est une surface avec un seul côté et une seule frontière, souvent utilisée pour intriguer les jeunes étudiants en mathématiques.
Vous pouvez facilement le créer en prenant une bande de papier, en la tordant et en joignant les extrémités de la bande.
Étant le premier exemple d'une surface sans orientation, il n'a pas ébranlé les fondements des mathématiques autant que les autres découvertes de cette liste, mais il a fourni de nombreuses applications pratiques, comme une courroie résistante, et a inspiré les mathématiciens à inventer des surfaces non orientables, comme la bouteille de Klein. (Le nom de cette surface vient probablement d'une double coïncidence : Klein, son concepteur, l'a initialement nommée Fläche, qui signifie surface en allemand et ressemble à Flasche, qui signifie bouteille. Le fait qu'elle ressemblait aussi à une bouteille semble avoir scellé le renommage).
5. L'indénombrabilité des nombres réels par Cantor
Traiter avec l'infini étant déjà une corvée, Cantor a prouvé en 1874 qu'il existe en fait différents types d'infini. En particulier, en prouvant l'indénombrabilité des nombres réels, Cantor a prouvé que cet ensemble est plus grand que l'ensemble déjà infini des nombres naturels.
En 1891, il a également fourni l'argument diagonal, une preuve si élégante qu'elle a ensuite été adoptée comme outil pour prouver par l'utilisation d'un paradoxe. Sa remarque a donné naissance à la théorie des nombres cardinaux, ainsi qu'à des paradoxes traitant de la question : combien d'infinis pouvez-vous gérer ?
6. Le paradoxe de Russell
En 1901, Russell a découvert un point faible dans la théorie des ensembles de Cantor, jusqu'alors bien établie, ce qui l'a conduit à une contradiction que le monde mathématique ne pouvait ignorer. Selon cette théorie, toute collection de choses peut être un ensemble.
L'exemple contradictoire de Russell, également appelé le paradoxe du barbier, est le suivant : imaginez une ville qui a une règle spéciale ; tout homme qui n'est pas rasé par lui-même doit être rasé par le barbier de la ville. La question gênante, à laquelle vous pouvez essayer de répondre vous-mêmes, est : qui rase le barbier ?
Cette découverte l'a conduit à remettre en question les fondements mêmes de la théorie des ensembles précédente et à en créer une nouvelle, qui, étant plus compliquée que la théorie des ensembles Zermelo-Fraenkel proposée plus tard, n'a pas pris son essor.
7. Les théorèmes d'incomplétude de Gödel
Si les événements précédents semblaient créer des moments légèrement inconfortables, attendez pour la tortue gênante suivante (et celle-ci est pire que celle d'Achille).
Nous parlons du 20ème siècle. Les gens ne voulaient pas seulement savoir. Ils voulaient savoir s'il est possible de savoir, et le prouver. Malheureusement pour eux, et le besoin humain de comprendre l'univers, Gödel a publié en 1931 deux théorèmes, connus sous le nom de théorèmes d'incomplétude.
Expliquer les détails techniques de ces théorèmes est aussi difficile que de se réconcilier avec leurs conclusions, car ce que Gödel a prouvé, c'est que, en considérant un système cohérent et complet, comme le langage de l'arithmétique, il existe des énoncés qui sont à la fois vrais et ne peuvent pas être prouvés. Il a illustré la vérité de son théorème avec cet énoncé simple, inspiré par le paradoxe du menteur : « Cet énoncé ne peut pas être prouvé ». Si cela est vrai, alors cet énoncé est vrai et ne peut pas être prouvé. Si cela est faux, alors cet énoncé peut être prouvé, ce qui contredit l'argument original selon lequel il ne peut pas être prouvé.
Ce furent de très mauvaises nouvelles pour les mathématiques, les privant de leur éclat original d'expliquer la vérité absolue. Ce fut également un terrible retour à la quête de connaissance de Hilbert, exprimée dans son énoncé « Nous devons savoir, nous saurons ».
8. Le théorème d'indéfinissabilité de Tarski
Il semble que Tarski ait été inspiré par le désespoir créé par Gödel. En 1936, il a fourni une preuve pour le problème d'indéfinissabilité.
Bien que les observations faites par Tarski soient également incluses dans l'œuvre de Gödel, il est soutenu que le travail de Tarski a un impact philosophique plus profond. Tarski a réussi à atteindre la conclusion générale qu'un langage ne peut pas définir la vérité en lui-même. Bien que ce soit une limitation importante, il suggère que l'utilisation d'un méta-langage plus puissant est suffisante pour définir la vérité dans le langage plus simple.
Maintenant, une personne ordinaire pourrait penser que cela résout le problème, mais pour un mathématicien à la recherche du « langage unique pour les gouverner tous », cela n'est pas très réconfortant.
9. Le problème de l'arrêt
Alan Turing a tenté de résoudre le problème de la décision, qui, en termes simples, traitait de la recherche d'un algorithme capable de répondre à la question de savoir si un énoncé est vrai ou non. Afin de résoudre ce problème conceptuellement simple mais difficile à résoudre, il l'a reformulé en problème de l'arrêt : existe-t-il une machine capable de vous dire si un programme s'arrêtera sur un problème donné ?
L'arrêt signifie qu'il ne bouclera pas indéfiniment. Mais comment prouver l'infaisabilité d'une machine dont on sait si peu de choses ? C'est là que les paradoxes deviennent utiles.
Alan Turing a commencé par supposer l'existence d'une machine qui, étant donné un programme d'entrée et un problème, répond à la question de savoir s'il s'arrêtera ou non. Il a ensuite augmenté cette machine en bouclant sa sortie vers elle-même si la réponse était oui et en s'arrêtant si la réponse était non.
Alors, la machine augmentée s'arrêtera-t-elle sur le problème de l'arrêt ? La réponse d'Alan est : si oui alors non, si non alors oui. Cela semble être de mauvaises nouvelles pour la logique.
10. Le théorème de l'absence de déjeuner gratuit
Le passage au 21ème siècle a signifié un transfert des mathématiques pures, presque philosophiques, vers des domaines appliqués, tels que les statistiques et l'optimisation.
Si vous vous considérez comme amateur d'optimisation, ne pensez-vous pas que cela fera de vous un perfectionniste ? Et un perfectionniste ne voudrait-il pas trouver la manière optimale d'optimiser les choses ?
Il semble que David Wolpert et William Macready ont senti ce besoin et ont trouvé une réponse, qui, bien sûr, n'était pas du tout encourageante (sinon elle ne serait pas dans notre liste). Selon leur théorème de l'absence de déjeuner gratuit pour l'optimisation, publié en 1997, « tout algorithme d'optimisation est équivalent lorsque sa performance est moyennée sur tous les problèmes possibles ».
Bien que cela puisse être décevant, cela ne signifie pas que l'optimisation est vaine. Nous ne trouverons simplement jamais une manière généralement optimale de le faire.
Ces moments ont rendu le monde des mathématiques gênant, ce qui est un terme léger pour les sentiments de désespoir et de chaos que les scientifiques ont tendance à ressentir lorsque l'univers cesse de faire sens. Mais le choc est le moyen de faire avancer la science.
Des domaines mathématiques ont été créés, nous avons obtenu la machine de Turing, des surfaces élégantes et, surtout, la capacité de réexaminer nos perceptions et d'adapter nos outils en conséquence.
Ces moments de questionnement nous ont aidés à évoluer intellectuellement.
Sauf pour les théorèmes d'incomplétude. Ceux-ci étaient simplement dévastateurs.